олимпиады

Олимпиадные задачи 2 тура с решениями и ответами - 2005 год

Олимпиадные задачи 2 тура предметных Олимпиад школьников по математике

2005 год

9 класс

  1. Все трехзначные числа записаны в ряд: 100  101  102 … 998  999. Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?
  2. По определению, n ! = 1 · 2 · 3 · … · n . Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! · 2! · 3! · … · 20!, чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?
  3. С помощью циркуля и линейки разделите пополам угол, вершина которого недоступна.
  4. Сколько существует треугольников со сторонами 5 см и 6 см, один из углов которого равен 20°?На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй – любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

10 класс

  1. Докажите, что уравнение  x4– 4x3 + 12x2 – 24 x +24 = 0  не имеет решений.
  2. Докажите, что в ходе любого сыгранного футбольного матча был момент, когда одна из команд забила голов столько же, сколько другой осталось забить.
  3. Хорда удалена от центра окружности на расстояние  h.  В каждый из двух сегментов круга, стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а другая пара соседних вершин – на соответствующей дуге окружности. Найдите разность длин сторон квадратов.
  4. Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого является число √2 +√3.
  5. Первый член числовой последовательности равен 1, каждый из двух следующих равен 2, каждый из трех следующих за ними равен 3 и т.д. Чему равен 2005-й член этой последовательности?

11 класс

  1. Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат.
  2. Решите уравнение     sin44x + cos2x = 2sin4x·cos4x.
  3. Существует ли многогранник с нечетным числом граней, каждая из которых есть многоугольник с нечетным числом сторон?
  4. Докажите, что касательные к гиперболе y = 1/x образуют с осями координат треугольники одной и той же площади.
  5. В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из чисел 1 или -1. Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.

Тематика заданий этапов Олимпиады по математике

Тематика заданий школьного этапа Олимпиады 
(2009/2010 уч.г.)

5 класс

  1. Арифметика.
  2. Числовой ребус.
  3. Задача на построение примера (разрезание фигур, переливания, взвешивания).
  4. Логические или текстовые задачи.

 

6 класс

  1. Арифметика (дроби, числовые ребусы).
  2. Задача на составление уравнения.
  3. Фигуры,  нахождение многоугольника с указанными свойствами.
  4. Логическая задача.

 

7 класс

  1. Числовой ребус.
  2. Задача на составление уравнений.
  3. Делимость натуральных чисел. Признаки делимости
  4. Задача на разрезание фигур.
  5. Логическая задача.

 

8 класс

  1. Нахождение числа с указанными свойствами.
  2. Построение графиков функций.
  3. Преобразование алгебраических выражений.
  4. Основные элементы треугольника.
  5. Логическая задача на четность.

 

9 класс

  1. Делимость, четность.
  2. Квадратный трехчлен. Свойства его графика.
  3. Основные элементы треугольника.
  4. Алгебра (неравенство или задача на преобразования алгебраических выражений).
  5. Логическая (комбинаторная) задача

 

10 класс

  1. Нахождение числового множества, обладающего указанными свойствами.
  2. Прогрессии.
  3. Площадь. Подобие фигур.
  4. Система уравнений.
  5. Логическая (комбинаторная) задача.

 

11 класс

  1. Рациональные и иррациональные числа
  2. Тригонометрические уравнения
  3. Окружность. Центральные и вписанные углы
  4. Многоугольники.
  5. Комбинаторика.

 


Порядок проведения школьной предметной Олимпиады по математике

Порядок проведения школьного этапа Олимпиады

 

Школьный этап Олимпиады проводится в один день в октябре для учащихся 5-11 классов.
Рекомендуемое время проведения Олимпиады: для 5-6 классов – 2 урока, для 7-8 классов – 3 урока, для 9-11 классов – 4 урока.
 
Вариант должен содержать 4-6 задач разной сложности. Желательно, чтобы задания охватывали большинство разделов школьной математики, изученных к моменту проведения Олимпиады. Первые две (самые легкие) задачи варианта должны быть доступны подавляющему большинству участников. В качестве сложных задач рекомендуется включать в вариант задачи, использующие материал, изучаемый на факультативных занятиях.
 

Рекомендуется подготовка заданий для школьного этапа Олимпиады муниципальными предметно-методическими комиссиями по математике.

Порядок проведения муниципального этапа Олимпиады

Муниципальный этап Олимпиады проводится в один день в ноябре-декабре для учащихся 6-11 классов.
Рекомендуемое время проведения Олимпиады – 4 часа.
Вариант должен содержать 5-6 задач разной сложности. Обязательным является требование включения в вариант заданий по темам, изученным к моменту проведения Олимпиады в соответствии с программами всех базовых учебников по математике. Первые две (самые легкие) задачи варианта должны быть доступны подавляющему большинству участников. Рекомендуется подготовка заданий для муниципального этапа Олимпиады региональными предметно-методическими комиссиями по математике.

Задания школьного и муниципального этапов Олимпиады

Олимпиадные задания школьного и муниципального этапов составляются на основе программ по математике для общеобразовательных учебных учреждений. Также допускается включение задач, тематика которых входит в программы школьных кружков (факультативов). Ниже приводятся только те темы, которые рекомендуется использовать при составлении вариантов заданий текущего учебного года. Важно отметить, что в силу специфики регионов и различий в степени доступности участникам Олимпиады тех или иных источников задач, сложности в составлении (подборе) задач предлагаемой тематики необходимой для данной территории трудности, предметно-методические комиссии могут менять рекомендуемую тематику заданий, сохраняя в целом структуру варианта.
 

Олимпиады школьников

Школьные предметные олимпиады

 

 

RSS-материал