Учимся вместе

Олимпиадные задачи 2 тура предметных Олимпиад школьников по математике

2005 год

9 класс

1. Все трехзначные числа записаны в ряд: 100  101  102 … 998  999. Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?
2. По определению, n ! = 1 · 2 · 3 · … · n . Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! · 2! · 3! · … · 20!, чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?
3. С помощью циркуля и линейки разделите пополам угол, вершина которого недоступна.
4. Сколько существует треугольников со сторонами 5 см и 6 см, один из углов которого равен 20°?На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй – любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

10 класс

1. Докажите, что уравнение  x⁴– 4x³ + 12x² – 24 x +24 = 0  не имеет решений.
2. Докажите, что в ходе любого сыгранного футбольного матча был момент, когда одна из команд забила голов столько же, сколько другой осталось забить.
3. Хорда удалена от центра окружности на расстояние  h.  В каждый из двух сегментов круга, стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а другая пара соседних вершин – на соответствующей дуге окружности. Найдите разность длин сторон квадратов.
4. Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого является число √2 +√3.
5. Первый член числовой последовательности равен 1, каждый из двух следующих равен 2, каждый из трех следующих за ними равен 3 и т.д. Чему равен 2005-й член этой последовательности?

11 класс

1. Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат.
2. Решите уравнение     sin⁴4x + cos²x = 2sin4x·cos⁴x.
3. Существует ли многогранник с нечетным числом граней, каждая из которых есть многоугольник с нечетным числом сторон?
4. Докажите, что касательные к гиперболе y = 1/x образуют с осями координат треугольники одной и той же площади.
5. В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из чисел 1 или -1. Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.

Ответы и решения задач
2005 год

1. Так как трехзначное число не может начинаться с нуля, то двойка, после которой идет нуль, не может стоять в разряде единиц одного из трехзначных чисел ряда. Пусть двойка стоит в разряде десятков трехзначного числа. Тогда идущий за ней нуль стоит в разряде единиц того же числа, т.е. это число оканчивается на 20.  Таких чисел 9: 120, 220, …, 920. Наконец, если двойка, после которой идет нуль, стоит в разряде сотен, то соответствующее трехзначное число начинается на 20. Таких чисел 10: 200, 201, …, 209. Таким образом, всего после двойки нуль будет встречаться 19 раз.
2. Заметим, что1! · 2! · 3! · 4! ·…· 20! = (1! · 2!) · (3! · 4!) ·…· (19! · 20!) =
   = (1! · 1! · 2) · (3! · 3! · 4) · (5! · 5! · 6) ·…· (17! · 17! · 18) · (19! · 19! · 20) = 
   = (1!)² · (3!)² · (5!)² ·…· (19!)²  ·  (2 · 4 · 6 · 8 ·…· 18 · 20) =
   = (1!)² · (3!)² · (5!)² ·…· (19!)² · (2 · (2 · 2) · (3 · 2) ·…· (10 · 2)) =
   = (1! · 3! ·…· 19!)² · 2¹⁰ · (1 · 2 · 3 ·…· 2 · 10) = (1! · 3! ·…· 19!)² (2⁵)² · 10!

3. Задача имеет множество решений. Рассмотрим один из них. Выберем на сторонах угла произвольно по 2 точки: A, N, B, M и рассмотрим треугольники АВС и NМС. Проведем в каждом из этих треугольников биссектрисы углов. Точка пересечения биссектрис углов треугольника АВС принадлежит и биссектрисе угла С. Аналогично, точка пересечения 2 биссектрис углов треугольника NМС также лежит на биссектрисе угла С. Проводим через эти 2 точки прямую, которая будет и биссектрисой ﮮС. 
4. 
   Есть только один треугольник, в котором угол 20° лежит между сторонами 5 см и 6 см. Попробуем построить треугольник, в котором сторона 6 см прилегает к углу 20°, а сторона 5 см лежит против него. Для этого от вершины угла отложим отрезок длиной 6 см, и проведем окружность радиуса 5 см с центром этого отрезка, не совпадающем с вершиной. Расстояние от центра этой окружность до второй стороны угла меньше 5 см (это расстояние равно катету угла в 20°). Отсюда следует, что окружность пересечет прямую, содержащую вторую сторону угла, в двух точках, причем из-за того что радиус меньше 6 см, обе эти точки будут лежать на стороне угла, и мы получим два разных треугольника.
   Если же попробовать поменять ролями отрезки в 5 см и 6 см, то вершина угла окажется внутри построенной окружности, и мы получим только одну точку пересечения, а следовательно, и один треугольник.
   Итак, мы получили всего 4 треугольника.
5. Опишем стратегию первого игрока. Первым ходом он должен взять со стола 85 монет.  Каждым следующим, если второй игрок берет х монет, то первый игрок должен взять 101 – х монет (он всегда может это сделать, потому что если х – четное число от 2 до 100, то (101 – х) – нечетное число от 1 до 99). Так как 2005=101· 19 + 85 + 1, то через 19 таких «ответов» после хода первого на столе останется 1 монета, и второй не сможет сделать ход, т. е. проиграет.

1. Уравнение x⁴ – 4x³ + 12x² – 24x + 24 = 0  преобразовать к виду (x2 – 2x)² + 8(x – 1,5)² + 6 = 0,   которое не имеет решений.
2. Пусть первая из команд забила за весь матч m голов, вторая n голов. Сумма числа голов в ходе матча изменяется с шагом 1 от 0 до m + n , значит, в какой-то момент она будет равна m. Данный момент и будет искомым в задаче, потому что при этом число голов, уже забитых второй командой, равно разности m и числа голов, уже забитой первой командой, т. е. числу голов, которое еще предстоит забить первой команде. Аналогично можно рассуждать и с первой командой.
3. Обозначим длины сторон большого и малого квадратов через 2х и 2у соответственно, радиус окружности – через R. Тогда расстояния от центра окружности до вершин вписанных квадратов, лежащих на окружности дают выражения (2 – h)² + x² = R²,   (2y + h)² + y² = R².  Отсюда получим x - y = (4/5)h.  Тогда, разность длин сторон квадратов будет равна (8/5)h.
4. Обозначим √2 + √3 =a. Тогда a² = 5 + 2√6, а  (a² – 5)² = (2√6)²или a⁴ – 10a² + 25 = 24, которое равносильно a⁴ – 10a² + 1 = 0. А это и означает, что а является корнем многочлена  x⁴ – 10x² + 1.

1. Пусть это 4 последовательных числа: n, n + 1, n + 2, n  + 3. Тогда n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n²   + 3n)(n² + 3n + 2) + 1 = (n²  + 3n)² + 2(n²  + 3n) + 1 = (n²  + 3n + 1)².
2. Перенесем в левую часть  2sin4x · cos⁴x и прибавим и вычтем по cos⁸x. В результате полученное уравнение можно преобразовать к виду (sin4x – cos⁴x)² + cos²x(1 – cos⁶x) = 0, которое равносильно следующей системе:

Решая второе уравнение и подставляя его решения в первое уравнение, в результате получим решение исходного уравнения x = π/2 + πk .

3. Пусть такой многогранник существует. Обозначим за 1, 2, …, число ребер на гранях, тогда 1 + 2 + … – удвоенная сумма всех ребер многогранника, она – четная. А в левой части стоит нечетная сумма слагаемых, каждое из которых – нечетно. Получили противоречие. Значит, такого многогранника не существует.
4. Составим уравнение касательных к гиперболе в точке

Т. к.(1/x)' = -1/(x²), то эти уравнения будут иметь вид y = -1/(х²)(x - х) + 1/х.(*) Касательная с уравнением (*) пересекает ось абсцисс в точке (х₁;0);  
  х₁ можно определить из уравнения -1/(х²)(x - х) + 1/х= 0. Решая данное уравнение, получим х₁ = 2х.  Точка (0; y₁) пересечения с осью ординат определяется подстановкой в уравнение (*) значения х = 0. В итоге получим y₂ = 2/х. Отрезки осей координат и касательной составляют прямоугольный треугольник, катеты которого имеют длины  а = 2|х| и b = 2 / |х|. Площадь данного треугольника равна 2.

5. Найдем произведение всех 25 чисел, записанных под каждым столбцом и всех 25 чисел, записанных справа от строчек. Так как в этом произведении каждое из чисел квадратной таблицы входит по два раза, то произведение этих 50 произведений, в каждом из которых стоит по 25 множителей, будет положительным, т. е. равно 1. А так как произведение 50 чисел положительно, то отрицательных сомножителей будет четное число (2, 4, …, 50). Сумма же 50 произведений может быть нулем лишь в случае, когда 25 слагаемых равно 1, а 25 слагаемых равно - 1, т. е. слагаемых с - 1 должно быть нечетное число. А это значит, что сумма 50 написанных произведений не может равняться нулю.