Учимся вместе

Олимпиадные задачи 2 тура предметных Олимпиад школьников по математике

2005 год

9 класс

1. Все трехзначные числа записаны в ряд: 100  101  102 … 998  999. Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?
2. По определению, n ! = 1 · 2 · 3 · … · n . Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! · 2! · 3! · … · 20!, чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?
3. С помощью циркуля и линейки разделите пополам угол, вершина которого недоступна.
4. Сколько существует треугольников со сторонами 5 см и 6 см, один из углов которого равен 20°?На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй – любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

10 класс

1. Докажите, что уравнение  x⁴– 4x³ + 12x² – 24 x +24 = 0  не имеет решений.
2. Докажите, что в ходе любого сыгранного футбольного матча был момент, когда одна из команд забила голов столько же, сколько другой осталось забить.
3. Хорда удалена от центра окружности на расстояние  h.  В каждый из двух сегментов круга, стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а другая пара соседних вершин – на соответствующей дуге окружности. Найдите разность длин сторон квадратов.
4. Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого является число √2 +√3.
5. Первый член числовой последовательности равен 1, каждый из двух следующих равен 2, каждый из трех следующих за ними равен 3 и т.д. Чему равен 2005-й член этой последовательности?

11 класс

1. Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат.
2. Решите уравнение     sin⁴4x + cos²x = 2sin4x·cos⁴x.
3. Существует ли многогранник с нечетным числом граней, каждая из которых есть многоугольник с нечетным числом сторон?
4. Докажите, что касательные к гиперболе y = 1/x образуют с осями координат треугольники одной и той же площади.
5. В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из чисел 1 или -1. Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.

Порядок проведения школьного этапа Олимпиады

Рекомендуется подготовка заданий для школьного этапа Олимпиады муниципальными предметно-методическими комиссиями по математике.

Порядок проведения муниципального этапа Олимпиады

Муниципальный этап Олимпиады проводится в один день в ноябре-декабре для учащихся 6-11 классов.
Рекомендуемое время проведения Олимпиады – 4 часа.
Вариант должен содержать 5-6 задач разной сложности. Обязательным является требование включения в вариант заданий по темам, изученным к моменту проведения Олимпиады в соответствии с программами всех базовых учебников по математике. Первые две (самые легкие) задачи варианта должны быть доступны подавляющему большинству участников. Рекомендуется подготовка заданий для муниципального этапа Олимпиады региональными предметно-методическими комиссиями по математике.

Задания школьного и муниципального этапов Олимпиады

Олимпиадные задания школьного и муниципального этапов составляются на основе программ по математике для общеобразовательных учебных учреждений. Также допускается включение задач, тематика которых входит в программы школьных кружков (факультативов). Ниже приводятся только те темы, которые рекомендуется использовать при составлении вариантов заданий текущего учебного года. Важно отметить, что в силу специфики регионов и различий в степени доступности участникам Олимпиады тех или иных источников задач, сложности в составлении (подборе) задач предлагаемой тематики необходимой для данной территории трудности, предметно-методические комиссии могут менять рекомендуемую тематику заданий, сохраняя в целом структуру варианта.
 

 Математические олимпиады школьников

проблемы и перспективы развития

Ежегодно проводятся школьные, муниципальные и региональные этапы Всероссийской олимпиады школьников, что способствует выявлению одаренных учащихся, имеющих интерес и склонности к тем или иным предметным дисциплинам.

Изначально проведение предметных олимпиад имело целью развить интерес учащихся к школьным дисциплинам. В настоящее время, роль предметных олимпиад возросла в связи с введением ЕГЭ и новыми правилами поступления в вузы. Успешно выступившие на олимпиадах школьники имеют преимущества при поступлении в престижные вузы страны и своего региона – а это в свою очередь повышает статус всего олимпиадного движения.

Олимпиадные испытания охватывают широкий круг учебных предметов, в том числе и предмет математику. За годы существования математические олимпиады стали самыми массовыми творческими соревнованиями школьников. Они проводятся практически во всех странах мира, а в Международной математической олимпиаде школьников, которая берет свое начало в середине прошлого столетия, ежегодно принимают участие более 90 стран, и эта цифра постоянно растет.

В математических олимпиадах основой успеха является не сумма конкретных знаний учащегося, а его способность логически мыслить, умение создать за короткий срок достаточно сложную и, главное, новую для него логическую конструкцию. Только в математических олимпиадах задание может начинаться со слов: «Докажите, что…». Решая задачу выявления творческих способностей учащегося, т. е. умения «нестандартно мыслить», олимпиадная математика в значительной степени отошла от стандартной («школьной») математики.

Хотя промежуточное звено между «школьной» и «олимпиадной» математикой – так называемые задачи повышенной трудности и занимательные задачи – всегда включались в школьные учебники по математике. Они помогают учителю в работе со способными учениками, в поддержке у них интереса к предмету.

Олимпиадная задача по математике – это задача повышенной трудности, нестандартная как по формулировке, так и по методам решения. Геометрические задачи вызывают наибольшие трудности у учеников. При этом можно утверждать, что как раз геометрия лучше всего развивает нестандартное мышление и помогает выделить математически одаренных школьников.